从特殊到一般，完备数学思维

特殊与一般是对立统一的，特殊融于一般之中.解题中通常是将一般问题特殊化，先用特殊情形探讨解题的思路或问题的结论，然后在一般的情况下给出结论.虽然通常情况下对特殊情况的讨论不能代替一般情况的研究，就是说若干特例得到的结论，不能确保一般命题的成立，但是它仍是一种快捷有效的思维方式，由于它的事半功倍很容易被人接受.但是，反过来解题中面对特殊的问题将其一般化，是不容易做到的，确是对数学思维水平的挑战.然而，通过对特殊情形的研究得到一般情形的结论，是我们所追求的，人类对歌德巴赫猜想的证明就是一个典型例子.所谓特殊问题一般化，就是将研究的问题放在较原问题更一般的情况下考察的方法.如能使更一般的问题得到解决，则原问题随之解决.在数学里主要表现在对命题的推广，此外也表现于一般化思想方法解决特殊问题.虽然将特殊问题一般化是对思维水平的挑战，但是,通过它可以完善思维，意义重大，教学中要有意识的培养.
例1 （2003年上海春季卷）设 .利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(-5)+f(-4)+…+f(0)+ …+f(6)的值为______.
这是一个非常漂亮的好题，不但注意了课本知识的考察，更突出了数学思维完备性的考察.正确解法的思路是：首先通过课本知识想到“凑对”，f(-5)+f(6), f(-4)+f(5) …共6对;然后考察每对的结果，面对这6种特殊情况，如果逐一去算显然太麻烦，如能将每对的特点概括为一般情况，即：f(1-n)+f(n),然后通过计算f(1-n)+f(n)= 可得每对的结果都是 ，所以结果为 .这种解题思路就是将特殊问题一般化，这样就可以减少对于特殊情况逐一计算的麻烦，更主要的是原题有多少对都不是主要问题.从以上解法分析中不难看出，困难在于将特殊问题一般化的意识以及如何将特殊情况概括为一般情况.
类似的题如：（2002年全国卷）已知函数 ，那么 =_______.
解本题可将特殊情况概括为 =1，原题即解.
例2 四条曲线 ，已知直线 ，四条曲线中与直线 只有一个公共点的是（ ）.
A (1)(2)(3) B(1)(2)(4) C(1)(3)(4) D(2)(3)(4)
解决本题如果分别将四条曲线方程与直线方程联立，显然太复杂，若将四条曲线方程概括为： 则可得满足题意应为 ，即可得答案为C，可谓事半功倍.
例3 计算：  
计算本题，显然不能直接将31×30×29×28+1计算后再开方.观察发现31×30×29×28是4个连续自然数的积，也可以说是成等差数列（公差为1）4项的积.故，可一般化地设为 .将此4项相乘得： ，再加1得： ，所以 ，对于原题 ，故原题等于869.
以上只是几个用一般化思想方法解题的例子，从中不难看出它的作用.教师要有意识的通过各种渠道培养学生的这种思维方法，这种素材到处都是，如概念、定理的形成等.更主要的是通过这种意识的培养我们可以完善学生的思维.